En mathématiques, la roulette est l'ancien nom de la cycloïde.


La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale particulière dont la directrice est une droite et dont le point directeur est situé sur le cercle lui-même; c'est un cas particulier de roulette.
Par exemple, la valve (point directeur) d'une roue de vélo avançant en ligne droite décrit une épicycloïde et non pas une cycloïde car elle n'entre pas en contact avec la chaussée (directrice). Par contre, le chewing-gum (point directeur) collé sur le pneu décrira une cycloïde car il rentre en contact avec la chaussée (directrice) à chaque tour de roue.

Le mot vient du grec kuklos (cercle, roue) et eidos (forme, semblable à), bien que cette courbe n'ait pas été connue des Grecs et ne fut baptisée qu'en 1599 par Galilée.

Elle fut étudiée pour la première fois au XVe siècle par Nicolas de Cues alors qu'il essayait de déterminer la surface du cercle par intégration. En 1626, Mersenne en reprit l'étude et essaya, sans succès, de déterminer l'aire sous une arche de cycloïde. Il faudra attendre 1634 pour que son confrère Roberval démontre que cette aire est égale à trois fois l'aire du cercle qui l'a générée. Descartes, qui fut consulté sur ce calcul, le trouva intéressant mais trivial. Galilée, pour sa part, avait étudié ce problème pendant quarante ans mais n'était arrivé au même ratio que par une méthode empirique mettant en jeu des mesures de poids ; il crut d'ailleurs que ce ratio n'était pas entier.

La cycloïde et le calcul de ses propriétés furent alors l'objet de défis constants entre mathématiciens, si bien qu'elle fut surnommée « l'Hélène des géomètres ». Après Descartes, Pascal (sous le pseudonyme de Dettonville) offrit un prix à qui résoudrait deux problèmes liés à la cycloïde et au mouvement du pendule. En 1658, Christopher Wren démontra que la longueur d'une arche de cycloïde est égale à quatre fois le diamètre du cercle qui l'a générée. En 1673, Christiaan Huygens l'évoqua dans un traité sur le pendule synchrone. A cette époque, un technicien eut l'idée de suspendre le pendule à deux lames correctement recourbées (« joues ») pour obtenir l'isochronisme du battement, préalable indispensable pour permettre la construction d'horloges marines et donc la détermination du « secret des longitudes». Huygens démontra que la forme de ces lames correspondait à des morceaux de cycloïdes[1]. Enfin, ses propriétés brachistochrones furent étudiées à partir de 1696 par Jean Bernoulli, puis par Isaac Newton, Leibniz, Jacques Bernoulli et L'Hôpital. Il s'agissait d'un des premiers problèmes de variations, et son étude fut le point de départ de l'élaboration du calcul des variations.